Variations des fonctions de la forme x ⟼ a(x-x1)(x-x2)

Soit \(a\) un nombre réel non nul, \(x_1\) et \(x_2\) deux nombres réels et \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\).

Propriété

• Si \(a>0\)  alors \(f\) est strictement décroissante sur \(\left]-\infty~;\dfrac{x_1+x_2}{2}\right[\) et strictement croissante sur \(\left]\dfrac{x_1+x_2}{2};+\infty\right[\). Elle admet un minimum, atteint en \(\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}\).
  
• Si \(a<0\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(\left]-\infty~;\dfrac{x_1+x_2}{2}\right[\) et strictement décroissante sur \(\left]\dfrac{x_1+x_2}{2};+\infty\right[\). Elle admet un maximum, atteint en \(\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}\).
  

Propriété Tableau de variations

Les variations d'une fonction de la forme \(x\rightarrow a(x-x_1)(x-x_2)\) sont résumées dans les tableaux suivants où \(\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}\) et \(\beta=f(\alpha)\).
Ainsi, dans un repère orthogonal, \(\alpha\) et \(\beta\) sont les coordonnées du sommet de la parabole représentative de la fonction \(f\).

• Si \(a<0\) :

• Si \(a>0\) :